§2 解析学の出発点

今回は解析学の基本となる実数の連続性についての説明となる。

まずはDedekindの公理から見ていこう。

公理2.1(Dedekind)

実数の部分集合A⊂Rが次の二つの条件を満たすとする。

(D1)A≠Φ、A≠R

(D2)a∈Aであれば∀b>aに対してb∈A

⇒∃α∈A s.t. A=[α, +∞) or A=(α, +∞)

この公理を認めると定理1.1(§1)を証明できる。

↓↓定理1.1はこちら

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Proof of Th1.1

{a(n)}はTh1.1の条件(1)(2)を満たすとする。

(Step1)A:={x∈R : a(n)<=x(∀n∈N)}とおいてAが公理2.1の条件(D1)(D2)を満たすことを示す。

(D1)Th1.1の条件(2)よりa(n)<=M(∀n∈N)だからM∈A。よってA≠Φ

a(1)-1∉AなのでA≠R

(D2)a∈Aであればa(n)<=a(∀n∈N)を満たすので∀b>aに対してa(n)<=bが成り立つ。よってb∈A

以上から公理2.1より∃α∈R s.t. A=[α, +∞) or A=(α,+∞)

A=(α,+∞)とすると、α∉Aなので∃m∈N s.t. a(m)>α。この時α<β<a(m)を満たすβもβ∉Aとなる。これはA=(α,+∞)であることに矛盾。従って、A=[α,+∞)

(Step2)lim(n→∞)a(n)=αの証明

示すべきことは「∀ε>0,∃n(0)∈Ns.t. α-ε<a(n)<α+ε(∀n>=n(0))」

(右の不等式)a(n)<α+εはα∈Aより明らか

(左の不等式)α-ε<αとA=[α,+∞)より明らかにα-ε∉A、つまりAの定義からあるn(0)∈Nが存在してa(n(0))>α-εとなる。Th1.1(1)より∀n>n(0)でa(n)>=a(n(0))>α-ε

以上から∀n>n(0)でα-ε<a(n)<α+εとなるので収束が示された。(Q.E.D)

Def2.2

X⊂Rとする

(1)a∈RがXの上界(下界)であることを∀x∈Xに対してx<=a(x>=a)と定める。

(i.e. X⊂(-∞,a](X⊂[a,∞)))

(2)Xが上に有界(下に有界)であることをあるM∈Rが存在してMはXの上界(下界)と定める

Th2.3(ワイエルシュトラスの上限定理)

X⊂RでX≠Φとする

Xが上に有界(下に有界)ならば∃α∈Rに対して、{a∈R:aはXの上界}=[α,∞)({a∈R:aはXの下界})が成立する

このαのことをXの上限(下限)といいα=supX(α=infX)と表す

Proof of Th2.3

Proof of Th1.1の(Step1)でA:={a∈R:aはXの上界}とすれば良い(Q.E.D)

この部分の証明は後日更新した際に記入します

ワイエルシュトラスの上限定理は上階の最小値(下界の最大値)が存在することを示している

上限(sup)の値は最大(max)の代わりに用いる

ワイエルシュトラスの上限定理は標語的には「上に有界な集合は上限を持つ」

X⊂Rが上に有界でない場合はsupX=+∞と定める

X⊂Rが下に有界でない場合はinfX=-∞と定める

Proof of Th1.1⇒公理2.1

公理2.1の条件(D1),(D2)を満たす集合Aに対してx(1)∉A,y(1)∈Aただしx(1)<y(1)とする。このようなx(1),y(1)が存在することは、公理2.1の条件(D1),(D2)より明らか。

このとき次の手続きに従ってx(2),y(2),x(3),y(3),....を帰納的に定める。

x(n)∉A,y(n)∈Aを定めた際、次のステップ(n+1)では、

(x(n)+y(n))/2∈Aならばx(n+1):=x(n),y(n+1):=(x(n)+y(n))/2

(x(n)+y(n))/2∉Aならばx(n+1):=(x(n)+y(n))/2,y(n+1):=y(n)

とすると、x(n+1)∉A,y(n+1)∈Aとなる。

従って{x(n)},{y(n)}の作り方から、∀n∈Nに対して、x(n)∉A,y(n)∈A,x(n)<=x(n+1),y(n)>=y(n+1)

|x(n)-y(n)|=|x(1)-y(1)|/2^(n-1) ・・・(✳︎)

を満たしている。

{x(n)},{y(n)}の単調性と有界性からTh1.1より∃α=lim(n→∞)x(n), ∃β=lim(n→∞)y(n)

さらに(✳︎)より、α=βであることがわかる。示すべきことはA=[α,∞)orA=(α,∞)であり、これは(p)(q)を示せば良い。

(p)x についてα<x⇒x∈A

(q)xについてx<α⇒x∉A

(p)は公理2.1の条件(D2)より明らか

(q)は背理法で示す。x<αとなるxでx∈Aとなるものが存在すると仮定。{x(n)}は(✳︎)よりx(1)<=x(2)<=...<=x(n)<=...αであり、x(n)→α(n→∞)従って、x<αを考慮すると、十分大きなm∈Nに対してx<=x(m)<αである。ここで{x(n)}の作り方からx(m)∉Aとなっている。一方で背理法の仮定x∈Aとx<=x(m)から公理2.1の条件(D2)よりx(m)∈Aとなり矛盾。(Q.E.D)

Th1.1、公理2.1、Th2.3は全て同値なのでどれを公理として出発しても、他は定理として出てくる。

区間縮小法

I(n)=[a,b],I(n)⊃I(n+1)(∀n∈N),lim(n→∞)(b(n)-a(n))=0

⇒∩(n=1→∞)I(n)={一点}

も同値な命題の一つ。

(補足)上限の言い換え

X⊂Rは上に有界でX≠φとする。

この時次の同値関係が成立する。

α=supX ⇔ ∀ε>0, ∃x∈X s.t. α-ε<x<=α かつ x<=α(∀x∈X)